Ménages dans Ramsey

Ménages

Contrairement aux entreprises, le traitement des ménages dans le modèle de Ramsey est très différent de celui dans le modèle de Solow. En fait, dans le modèle de Solow, les ménages étaient presque absents: ils épargnaient à un taux constant et exogène, sans se soucier du niveau de consommation. Cela est radicalement différent dans le modèle de Ramsey: les décisions sont micro-fondées, ce qui signifie qu’ils optimisent pour maximiser leur utilité.

Les ménages tirent leur utilité de la consommation, ce qui est au cœur de leurs décisions d’épargne et d’investissement. Ils comprennent que la valeur d’une même consommation varie à travers le temps; consommer aujourd’hui ne procure pas le même niveau de satisfaction que consommer dans un an, par exemple. Mais, en réduisant la consommation aujourd’hui, il est possible d’épargner et ainsi gagner de l’intérêt et consommer plus dans le futur. Pour maximiser leur utilité, les ménages doivent arbitrer entre la consommation présente et la consommation future. Le modèle de Ramsey suppose que les ménages ont une durée de vie infinie, ce qui simplifie l’analyse de leurs choix intertemporels.

Finalement, de manière similaire au modèle de Solow, on postule que la population croît à un taux constant. Ainsi, la taille de la population à un moment donné est décrite par l’équation, $L(t) = L(0)e^{nt}.$ Pour simplifier, nous posons $L(0) = 1$ où $n>0$ est le taux de croissance de la population. Pour tant,

$$L(t) = e^{nt}.$$

Si $C(t)$ est la consommation totale de l’économie à l’instant $t$, la consommation par habitant est donnée par $c(t) \equiv \frac{C(t)}{L(t)}.$

Utilité des ménages

Pour chaque ménage, nous exprimons l’utilité comme suit: $$U = \int_{0}^{\infty} e^{-\rho t} e^{nt} u\left(c(t)\right) \mathrm{d}t = \int_{0}^{\infty} e^{-(\rho-n) t} u\left(c(t)\right) \mathrm{d}t$$

Dans cette équation:

• $\rho > 0$ représente le taux de préférence temporel, illustrant la priorité accordée à la consommation présente par rapport à la consommation future.
• $t$ symbolise le temps, considéré comme continu.
• $c(t)$ désigne le niveau de consommation à l’instant $t$.
• $e^{nt}$ reflète le nombre de membres du ménage, prenant en compte la croissance démographique.
• $u(\cdot)$ est la fonction d’utilité instantanée, qui mesure la satisfaction retirée de la consommation à un moment précis.

La fonction d’utilité instantanée $u(\cdot)$ permet de convertir un niveau de consommation en un niveau d’utilité correspondant. Cette fonction est à la fois croissante et concave, indiquant que les ménages apprécient la consommation et que leur utilité s’accroît avec celle-ci, mais de manière décroissante. L’utilité instantanée met ainsi en évidence l’effet de la satiété. La fonction d’utilité CRRA (Constant Relative Risk Aversion) est fréquemment employée et se présente comme suit : $$u(c(t)) = \frac{c(t)^{1-\theta}-1}{1-\theta}.$$ où $\theta$ est un paramètre exprimant l’aversion au risque. Ce paramètre détermine dans quelle mesure un ménage est disposé à troquer de la consommation actuelle contre de la consommation future.

Le taux de préférence temporel (noté ici par $\rho$) est un indicateur illustrant l’importance que les ménages accordent à la consommation présente par rapport à la consommation future. Un taux de préférence temporel élevé implique que les ménages privilégient une consommation accrue aujourd’hui plutôt que dans le futur. Inversement, un taux de préférence temporel faible suggère que les ménages sont plus enclins à consommer davantage dans le futur et moins aujourd’hui. Le terme $e^{nt}$, qui apparaît comme un multiplicateur dans l’expression, représente la taille totale du ménage.

En effet, l’utilité totale est la somme des flux d’utilité instantanée (ici réprésentée par une intégrale). Pour illustrer ce point, imaginons un instant qu’un individu ne vivait que pour deux périodes. On pourrait exprimer son utilité totale pendant sa vie comme la somme des utilités pendant la première période et celle de la deuxième période, $U = u(c(1)) + u(c(2)) = \sum_{t=0}^{2} u(c(t)).$ Cependant, puisque les individus sont supposés vivre indéfiniment et que le temps est considéré comme continu, nous utilisons l’expression précédente sous forme d’intégrale: $$U=\int_0^\infty e^{-(\rho-n)t}u(c(t))\mathrm{d}t.$$

Contrainte budgétaire et capital

Dans le modèle de Ramsey, les ménages détiennent le capital qui est créé à travers l’épargne et que les entreprises empruntent. En outre, les ménages offrent leur travail aux entreprises. Pour chaque ressource, ils obtiennent le taux d’intérêt $r(t)$ et le salaire $w(t)$. Finalement, les ressources sont utilisées pour:

• Financer la consommation
• Épargner

Comme dans le modèle de Solow, le capital est créé à travers de l’épargne, mettant l’accent sur l’accumulation du capital comme moteur de la croissance économique. La totalité du capital $K(t)$ est détenue par les ménages. À chaque période, l’économie ajoute la quantité de capital $\dot{K}(t)$ au stock existant. Ceci correspond à la part du revenu non consommée. De plus, une partie du capital se déprécie à un taux $\delta$. Par conséquent, le changement dans le niveau agrégé du capital est donné par:

$$\dot{K}(t) = \overbrace{w(t)L(t) + r(t)K(t)}^{revenu} - C(t) - \delta K(t)$$

Si l’on souhaite obtenir l’évolution du capital par ménage, il faut diviser par $L(t)$.

$$\dot{k}(t) = \dot{\frac{K(t)}{L(t)}} = \frac{\dot{K}(t)L(t) - \dot(L)(t)K(t)}{L(t)^2}$$ $$\dot{k}(t) = \frac{\left[w(t)L(t) + r(t)K(t) - C(t) - \delta K(t)\right]L(t) - \dot{L}(t)K(t)}{L(t)^2}$$ $$\dot{k}(t) = w(t) + r(t)k(t) - c(t) - \delta k(t) - n k(t)$$

On constate que:

• Un salaire ou un taux d’intérêt plus élevé permet d’épargner davantage.
• Une consommation plus élevée réduit l’épargne.