Optimisation
Optimisation
Dans le modèle de Ramsey, les ménages choisissent leur niveau de consommation de manière optimale pour maximiser leur utilité. Nous avons tous les ingrédients nécessaires pour écrire et résoudre le problème d’optimisation.
La fonction objective est la valeur de l’utilité totale:
Le problème d’optimisation consiste donc à déterminer la trajectoire optimale de la consommation,
Hamiltonien
Le problème des ménages est de nature dynamique, et les décisions prises à l’instant
Pour résoudre ce genre de problématiques, on applique le concept d’Hamiltonien. C’est une méthode mathématique permettant de déterminer la trajectoire optimale de la consommation en tenant compte de tous les effets en chaîne.
On écrit le Hamiltonien comme suit:
Pour résoudre le problème, on doit effectivement calculer les deux dérivées suivantes:
Pour notre cas, ces dérivées sont les suivantes:
Effectivement, nous avons maintenant un système comprenant deux équations dynamiques (en gardant à l’esprit que
Objectif: Jusqu’à présent, le modèle nous a fourni une équation dynamique pour le capital:
Cette équation montre comment le capital évolue (change) selon le niveau de capital existant (
On voit bien que la deuxième équation inclut
Pourtant, si nous introduisons ces conditions dans la deuxième équation elle devient :
Divisant les deux côtés par
Comme
Finalement, on sait que la valeur du coefficient d’aversion au risque (
Pourtant
Ainsi :
Cette dernière équation s’appelle Équation d’Euler et elle est fondamentale dans les modèles dynamiques.
et l’élasticité de substitution intertemporelle
Lors de l’optimisation, la valeur
Néanmoins,
Si on développe les différentiels
Comme on travail en temps continu, on peut laisser
L’équation d’Euler
Dans le modèle de Ramsey, l’équation d’Euler s’écrit (faisant explicite le fait que
Elle indique l’évolution de la consommation
- La consommation par tête augmente (ou diminue) selon l’écart entre le taux d’intérêt (
) et l’importance que les ménages donnent au futur ( ). Ceci correspond au trade-off entre consommer aujourd’hui ou attendre:- D’un côté, les ménages sont impatients et préfèrent consommer aujourd’hui
- De l’autre, attendre à consommer permet d’épargner plus et consommer plus pendant le futur.
- Un taux d’intérêt plus important implique qu’il est plus intéressant d’épargner, par conséquent, la consommation augmente avec le temps (
). - Si les deux forces sont en équilibre (
), la consommation ne change pas ( ).
- Le rôle de
est aussi important. est le niveau d’aversion au risque et mesure l’élasticité de substitution intertemporel. Ainsi, quand est grande, l’élasticité est basse. Cette élasticité mesure la disposition à accepter des niveaux de consommation différents au cours du temps. Pourtant, avec un niveau faible, les ménages préfèrent ne pas avoir d’écarts de consommation entre les différentes périodes. On le voit bien : si est faible, est faible aussi, et par conséquent, la consommation à peine augmente. Voir aussi l’Appendice.