Optimisation

Dans le modèle de Ramsey, les ménages choisissent leur niveau de consommation de manière optimale pour maximiser leur utilité. Nous avons tous les ingrédients nécessaires pour écrire et résoudre le problème d’optimisation.

La fonction objective est la valeur de l’utilité totale:

$$U = \int_{0}^{\infty} e^{-\rho t} e^{nt} u\left(c(t)\right) \mathrm{d}t$$ Les ménages peuvent décider librement combien consommer, et cela détermine le niveau de capital futur.

$$\dot{k}(t) = w(t) + r(t)k(t) - c(t) - \delta k(t) - n k(t).$$

Le problème d’optimisation consiste donc à déterminer la trajectoire optimale de la consommation, $c(t)$, qui maximise l’utilité intertemporelle des ménages, tout en respectant les contraintes liées à l’évolution du capital par travailleur, $k(t)$.

Hamiltonien

Le problème des ménages est de nature dynamique, et les décisions prises à l’instant $t$ ont des conséquences sur toutes les périodes futures. Si, par exemple, un ménage choisit d’augmenter sa consommation aujourd’hui, le niveau d’épargne se réduit, entrainant une baisse de la création de capital. De ce fait, il y aura moins de capital demain, réduisant la production, diminuant les salaires tout en élevant le taux d’intérêt, ce qui a un impact sur le revenu des ménages.

Pour résoudre ce genre de problématiques, on applique le concept d’Hamiltonien. C’est une méthode mathématique permettant de déterminer la trajectoire optimale de la consommation en tenant compte de tous les effets en chaîne.

On écrit le Hamiltonien comme suit:

$$\mathcal{H} = e^{-(\rho-n) t} u\left(c(t)\right) +$$ $$ + \lambda(t) \left[ w(t) + r(t)k(t) - c(t) - \delta k(t) - n k(t)\right]$$

Pour résoudre le problème, on doit effectivement calculer les deux dérivées suivantes:

$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial c} = 0$
$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial k} + \dot{\lambda} = 0$

Pour notre cas, ces dérivées sont les suivantes:

$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial c} \implies e^{-(\rho - n)t} u^\prime(c(t)) - \lambda(t) = 0$
$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial k} + \dot{\lambda} \implies \lambda(t)\left[r(t) - \delta - n \right] + \dot{\lambda}(t) = 0$

Effectivement, nous avons maintenant un système comprenant deux équations dynamiques (en gardant à l’esprit que $c$ est une fonction de $t: c(t)$, ainsi que $\lambda$ et $r$):

\begin{align} 0 =& e^{-(\rho - n)t} u^\prime(c) - \lambda \\\ 0 =& \lambda\left[r - \delta - n \right] + \dot{\lambda} \end{align}

Objectif: Jusqu’à présent, le modèle nous a fourni une équation dynamique pour le capital: $$\dot{k} = w(t) + r(t)k(t) - c(t) - \delta k(t) - n k(t).$$

Cette équation montre comment le capital évolue (change) selon le niveau de capital existant ($k(t)$) et selon le niveau de consommation ($c(t)$). Nous cherchons une équation pareille pour la consommation.

On voit bien que la deuxième équation inclut $\lambda$ et $\dot{\lambda}$. La première équation nous donne directement la valeur de $\lambda$. Enfin, sachant que $\dot{\lambda}$ n’est autre que la dérivée de $\lambda$ par rapport aux temps, nous avons que:

\begin{align} \lambda =& e^{-(\rho - n)t} u^\prime(c) \implies \\\ \dot{\lambda} =& e^{-(\rho - n)t} u^\prime(c)(-(\rho-n)) + e^{-(\rho-n)t}u^{\prime \prime}(c)\dot{c} \\\ \end{align}

Pourtant, si nous introduisons ces conditions dans la deuxième équation elle devient : \begin{align} 0 =& \lambda\left[r - \delta - n \right] + \dot{\lambda} \\\ -\dot{\lambda} =& \lambda\left[r - \delta - n \right] \\\ \end{align} \begin{align} -\left[\overbrace{e^{-(\rho - n)t} u^\prime(c)(-(\rho-n)) + e^{-(\rho-n)t}u^{\prime \prime}(c)\dot{c}}^{\dot{\lambda}}\right] =& \\\ =\overbrace{e^{-(\rho - n)t} u^\prime(c)}^{\lambda}\left[r - \delta - n \right] \\\ \end{align}

Divisant les deux côtés par $e^{-(\rho-n)t} > 0$ :

\begin{align} -\left[u^\prime(c)(-(\rho-n)) + u^{\prime \prime}(c)\dot{c}\right] =& u^\prime(c)\left[r - \delta - n \right] \\\ u^\prime(c)(\rho-n) - u^{\prime \prime}(c)\dot{c} =& u^\prime(c)\left[r - \delta - n \right] \\\ \rho-n - \frac{u^{\prime \prime}(c)}{u^\prime(c)}\dot{c} =& r - \delta - n \\\ \end{align}

Comme $u^\prime(c) > 0$, on peut aussi diviser par cette valeur : \begin{align} \rho - \frac{u^{\prime \prime}(c)}{u^\prime(c)}\dot{c} =& r - \delta \\\ \end{align}

Finalement, on sait que la valeur du coefficient d’aversion au risque ($\sigma$) est :

$$\sigma = -\frac{u^{\prime\prime}(c)}{u^{\prime} (c)}c$$

Pourtant $$\sigma = -\frac{u^{\prime\prime}(c)}{u^\prime (c)}c \implies -\frac{u^{\prime\prime}(c)}{u^\prime(c)} = \frac{\sigma}{c}$$

Ainsi : \begin{align} \rho - \frac{u^{\prime \prime}(c)}{u^\prime (c)}\dot{c} =& r - \delta \\\ \rho + \frac{\sigma}{c}\dot{c} =& r - \delta \\\ \frac{\dot{c}}{c} =& \frac{1}{\sigma}(r - \delta - \rho) \end{align}

Cette dernière équation s’appelle Équation d’Euler et elle est fondamentale dans les modèles dynamiques.

$\sigma$ et l’élasticité de substitution intertemporelle

Lors de l’optimisation, la valeur $\sigma$ apparait de manière (plus ou moins) naturelle. Or, dans le modèle, le risque n’existe pas, et il est donc difficile de comprendre la raison pour laquelle $\sigma$ apparait.

Néanmoins, $\sigma$ mésure aussi le taux d’élastion de substitution intertemporelle: le niveau auquel les ménages sont prêts à accepter des écarts de consommation entre les différentes périodes quand C’est-à-dire, s’ils veulent que la consommation soit toujours pareille ou s’ils acceptent des une consommation moins élevé pendant certains périodes pour béneficier, par exemple, d’un taux d’intérêt plus élevé. La définition de l’élasticité de substitution intertemporelle est la suivante, où $t$ et $s$ indiquent deux périodes de temps proches: $$\sigma(c_t, c_s) = \frac{\frac{u^\prime (c_t)}{u^\prime (c_s)}}{\frac{c_s}{c_t}}\frac{\mathrm{d}\frac{c_s}{c_t}}{\mathrm{d}\frac{u^\prime (c_t)}{u^\prime (c_s)}}$$

Si on développe les différentiels $\mathrm{d}$ rappelant que si $y = f(x)$ le différentiel $\mathrm{d}y$ est $\mathrm{d}y = f^\prime (x) \mathrm{d}x.$ Ainsi, avec la régle du quotient:

$$\frac{\frac{u^\prime (c_t)}{u^\prime (c_s)}}{\frac{c_s}{c_t}} \frac{\mathrm{d}\frac{c_s}{c_t}}{\mathrm{d}\frac{u^\prime (c_t)}{u^\prime (c_s)}}$$ $$\frac{\frac{u^\prime (c_t)}{u^\prime (c_s)}}{\frac{c_s}{c_t}} \frac{\frac{c_t \mathrm{d}c_s - c_s \mathrm{d}c_t}{c_t^2}}{\frac{u^\prime (c_s) u^{\prime \prime} (c_t) \mathrm{d}c_t - u^\prime (c_t) u^{\prime \prime}(c_s)\mathrm{d}c_s }{{u^\prime(c_s)}^2}} $$

Comme on travail en temps continu, on peut laisser $s$ s’approcher de $t$, $s\rightarrow t$ et, donc $c_s\rightarrow c_t$. Ainsi: $$\sigma(c_t, c_s) = \overbrace{\frac{\frac{u^\prime (c_t)}{u^\prime (c_s)}}{\frac{c_s}{c_t}}}^{=1} \frac{\frac{c_t \mathrm{d}c_s - c_s \mathrm{d}c_t}{c_t^2}}{\frac{u^\prime (c_s) u^{\prime \prime} (c_t) \mathrm{d}c_t - u^\prime (c_t) u^{\prime \prime}(c_s)\mathrm{d}c_s }{{u^\prime(c_s)}^2}} $$ $$\sigma(c_t, c_s) = \frac{\frac{c_t \mathrm{d}c_s - c_t \mathrm{d}c_t}{c_t^2}}{\frac{u^\prime (c_t) u^{\prime \prime} (c_t) \mathrm{d}c_t - u^\prime (c_t) u^{\prime \prime}(c_t)\mathrm{d}c_s }{{u^\prime(c_t)}^2}} $$ $$\sigma(c_t, c_s) = \frac{\frac{\mathrm{d}c_s - \mathrm{d}c_t}{c_t}}{\frac{u^\prime (c_t) u^{\prime \prime} (c_t) (\mathrm{d}c_t - \mathrm{d}c_s)}{{u^\prime(c_t)}^2}} $$ $$\sigma(c_t, c_s) = \frac{\frac{\mathrm{d}c_s - \mathrm{d}c_t}{c_t}}{\frac{u^{\prime \prime} (c_t) (\mathrm{d}c_t - \mathrm{d}c_s)}{{u^\prime(c_t)}}} $$ $$\sigma(c_t, c_s) = - \frac{\frac{\mathrm{d}c_s - \mathrm{d}c_t}{c_t}}{\frac{u^{\prime \prime} (c_t) (\mathrm{d}c_s - \mathrm{d}c_t)}{{u^\prime(c_t)}}} $$ $$\sigma(c_t, c_s) = - \frac{\frac{1}{c_t}}{\frac{u^{\prime \prime} (c_t) }{{u^\prime(c_t)}}} $$ $$\sigma(c_t) = - \frac{u^{\prime} (c_t) }{u^{\prime \prime}(c_t)}\frac{1}{c_t} $$

L’équation d’Euler

Dans le modèle de Ramsey, l’équation d’Euler s’écrit (faisant explicite le fait que $r$ change avec le temps) :

$$\frac{\dot{c}}{c} = \frac{1}{\sigma}\left(r(t) - \delta - \rho\right)$$

Elle indique l’évolution de la consommation $\dot{c}$. Au fait, comme nous avons $\frac{\dot{c}}{c}$, ce qui nous montre c’est le taux de croissance de la consommation. Rappelons que si $\dot{c} > 0$, la consommation augmente. Elle reflète que :

La consommation par tête augmente (ou diminue) selon l’écart entre le taux d’intérêt ($r(t)$) et l’importance que les ménages donnent au futur ($\rho$). Ceci correspond au trade-off entre consommer aujourd’hui ou attendre:
- D’un côté, les ménages sont impatients et préfèrent consommer aujourd’hui
- De l’autre, attendre à consommer permet d’épargner plus et consommer plus pendant le futur.
- Un taux d’intérêt plus important implique qu’il est plus intéressant d’épargner, par conséquent, la consommation augmente avec le temps ($\dot{c} > 0$).
- Si les deux forces sont en équilibre ($r(t) = \rho$), la consommation ne change pas ($\dot{c} = 0$).
Le rôle de $\sigma$ est aussi important. $\sigma$ est le niveau d’aversion au risque et $\frac{1}{\sigma}$ mesure l’élasticité de substitution intertemporel. Ainsi, quand $\sigma$ est grande, l’élasticité est basse. Cette élasticité mesure la disposition à accepter des niveaux de consommation différents au cours du temps. Pourtant, avec un niveau $\frac{1}{\sigma}$ faible, les ménages préfèrent ne pas avoir d’écarts de consommation entre les différentes périodes. On le voit bien : si $\frac{1}{\sigma}$ est faible, $\dot{c}$ est faible aussi, et par conséquent, la consommation à peine augmente. Voir aussi l’Appendice.

Last updated on 11 Jul, 2019