Le modèle de Solow

Hypothèses

Le modèle suppose une économie fermée sans gouvernement. Un seul bien homogène existe et le taux d’épargne est constant et fixé de manière exogène. Le capital physique se déprécie à un taux constant et exogène. Le nombre de travailleurs augmente à un taux constant et exogène. Finalement, le modèle de Solow décrit l’économie de manière agrégée, c’est-à-dire, on ne modélise pas les agents individuels (producteurs et consommateurs).

Fonction de production

Dans le modèle de base, l’économie produit un seul bien homogène ($Y$) à l’aide d’une fonction de production. Dans l’économie, seuls deux facteurs de production existent : le capital physique ($K$) et le travail ($L$). La fonction de production combine ces deux inputs pour produire l’output. Le temps dans le modèle est continu. La fonction de production est :

• Homogène de premier degré (pour tous les facteurs de production rivaux)
• La production est croissante pour tous les facteurs de production
• Montre des rendements décroissants
• Satisfait les conditions d’Inada

Ces hypothèses sur la fonction de production sont essentielles pour trouver les résultats du modèle.

Homogénéité de premier degré

Hypothèse cruciale

Une fonction est homogène de premier degré si le fait de dupliquer les facteurs de production double la quantité produite. Cette hypothèse semble raisonnable : si une usine avec 10 machines et 50 travailleurs produit 500 unités de production, alors en créant une deuxième usine identique, on obtiendra un total de 1000 unités de production avec 20 machines et 100 travailleurs.

Mathématiquement, une fonction est homogène de premier degré si : $$F\left[\lambda K, \lambda L\right] = \lambda F\left[K, L\right], \lambda \geq 0$$

Production croissante

Cette hypothèse est logique : si la quantité de capital ou de travail augmente, on produit davantage. Mathématiquement, la production est croissante si :

$$F^{\prime}_{K}\ F[K, L] > 0, F^{\prime}_{L}\ F[K, L] > 0$$

Où $F^{\prime}_{X}$ indique la dérivée première par rapport à la variable $X$.

Rendements décroissants

L’idée des rendements décroissants est centrale dans la théorie économique. Cette hypothèse indique que chaque fois que l’on augmente la quantité d’un facteur de production, la production augmente, mais de moins en moins. Par exemple, avec 10 machines et 50 travailleurs, la production est de 500 unités. En passant de 10 machines à 20 machines (sans changer le nombre de travailleurs), la production augmente de 100 unités, passant de 500 à 600. Cependant, si l’on ajoute 10 machines supplémentaires pour un total de 30, la production n’augmente que de 50 unités, passant de 600 à 650.

Mathématiquement, les rendements décroissants impliquent :

$$F^{\prime \prime}_{K}\ F[K, L] < 0, F^{\prime \prime}_{L}\ F[K, L] < 0$$

Où $F^{\prime \prime}_{X}$ indique la dérivée seconde par rapport à la variable $X$.

Conditions d’Inada

Hypothèse cruciale

Les conditions d’Inada sont une série de conditions qui décrivent le comportement de la fonction de production lorsque les facteurs de production ($K$ et $L$) sont rares ou abondants. Ces conditions indiquent que la productivité marginale du travail et du capital est élevée lorsque ces facteurs sont proches de zéro, et qu’elle diminue à mesure que ces facteurs deviennent plus abondants.

Mathématiquement, les conditions d’Inada sont les suivantes :

$$\lim_{K\rightarrow 0}F^{\prime}_{K}\left[K, L\right] = \infty,\lim_{L\rightarrow 0}F^{\prime}_{L}\left[K, L\right] = \infty$$ $$\lim_{K\rightarrow \infty}F^{\prime}_{K}\left[K, L\right] = 0,\lim_{L\rightarrow \infty}F^{\prime}_{L}\left[K, L\right] = 0$$

Les inputs sont essentielles pour la production

Parfois, on ajoute un condtion additionelle indiquant que chaque input, capital et travail, sont essentiels pour la production. Cela veut dire que, si l’un de ces facteurs est zéro, la production est nulle. Mathématiquement: $$F[K,0] = F[0, L] = 0$$

Cette hypothèse peut de démontrer à partir des autres hypothèses et n’est pas essentielle (voir page 77 de Barro et Sala-i-Martin ).

Fonction de production Cobb-Douglas

Dans ce qui suit, pour simplifier l’analyse, nous utiliserons la fonction de production Cobb-Douglas pour toute l’analyse :

$$Y(t) = F\left[K(t), L(t)\right] = K(t)^\alpha L(t)^{1-\alpha}, \alpha \in (0,1)$$

Cette fonction de production vérifie toutes les hypothèses nécessaires du modèle.

Consommation et épargne

Dans tous les modèles économiques dynamiques, l’équation d’accumulation du capital est fondamentale. Elle indique comment le capital (physique et humain) augmente au fil du temps. Dans les modèles de Solow et de Ramsey-Cass-Koopmans simples, le seul type de capital considéré est le capital physique, qui représente l’ensemble des biens utilisés dans le processus de production et qui ne sont pas consommés.

Pour mieux comprendre, imaginons que l’économie produit $Y$ unités du bien final. Comme il n’y a pas de gouvernement, toute la production doit être soit consommée par les agents, soit dédiée à l’investissement. Ainsi, une partie de cette production est destinée à la consommation des agents, notée $C(t)$, pour en tirer de l’utilité¹. Par conséquent (comme dans le modèle IS-LM), nous avons :

$$Y(t) = C(t) + I(t).$$

En même temps, du point de vue des ménages, nous avons $Y(t) - C(t) = S(t)$. C’est-à-dire que la partie qui n’est pas consommée correspond à l’épargne des ménages, notée $S(t)$, qui représente l’ensemble des biens épargnés². Cette épargne passe par le système bancaire et devient du capital productif à la période suivante. Cependant, comme nous ne modélisons pas le système bancaire, nous pouvons imaginer que les ménages prêtent directement des biens productifs aux entreprises. Par exemple, un ménage pourrait prêter une voiture à une entreprise, un autre pourrait prêter un bâtiment, etc. Ainsi, le niveau d’investissement est égal à l’épargne : $I(t) = S(t)$.

Travailleurs

Dans le modèle simple de Solow, le nombre de travailleurs augmente à chaque période de manière exogène. Cela reflète l’interaction entre le taux de fécondité, le taux de mortalité, les migrations, etc. Pour les pays développés, ces taux sont plus ou moins stables et supposer que ces variables sont exogènes simplifie l’analyse. D’autres modèles plus complexes cherchent à modéliser le niveau de fécondité, qui a beaucoup varié au cours de l’histoire et qui diffère également selon le niveau de revenu. Dans le cadre du modèle de Solow, la population augmente simplement au taux $n \geq 0$.