Variables per capita
Quand on compare les différents pays pour les classer en fonction du revenu, on utilise généralement le revenu par habitant ou la production par habitant. En effet, si l’on considère $Y(t)$ comme la production totale, il est normal que les pays les plus peuplés produisent davantage. Par exemple, le PIB (et non le PIB par habitant) de la Chine s’élève à environ 18 000 000 000 000 USD, tandis que celui du Luxembourg est seulement de 82 000 000 000 USD. Cependant, le niveau de richesse individuel est beaucoup plus élevé au Luxembourg, car la Chine compte environ 1 400 000 000 d’habitants contre seulement 650 000 au Luxembourg. Il est donc essentiel de mesurer le niveau de production par habitant afin d’établir des comparaisons appropriées et de comprendre pourquoi chaque individu est capable de produire davantage avec le développement. Les hypothèses du modèle, en particulier l’homogénéité de premier degré, nous permettent d’effectuer cette mesure.
Variables par habitant
Rappelons ce que signifie l’homogénéité de premier degré, c’est-à-dire que la fonction présente des rendements constants à l’échelle. une fonction est dite homogène de premier degré lorsque, si l’on multiplie les entrées par une même constante $\lambda > 0$, la sortie est également multipliée par cette même constante. Ainsi, pour une fonction $F\left[K(t), L(t)\right]$ ayant des rendements constants, cela signifie que $F\left[\lambda K(t), \lambda L(t)\right] = \lambda F\left[K(t), L(t)\right]$ pour tout $\lambda > 0$.
La définition est valable pour toute valeur de $\lambda$, y compris lorsque $\lambda = \frac{1}{L}.$ Ainsi, on peut écrire :
$$Y = F[K, L] \stackrel{Hom.}{\implies} \frac{Y}{L} = F\left[\frac{K}{L}, \frac{L}{L}\right] = F\left[\frac{K}{L}, 1\right]=\frac{Y}{L}.$$ À partir de cette équation, on peut montrer que : $$Y(t) = L\ F\left[\frac{K}{L}, 1\right].$$
Cette équation exprime le revenu total $Y$ en fonction du facteur travail $L$ et de la fonction de production $F\left[\frac{K}{L}, 1\right]$, où $\frac{K}{L}$ représente le capital par travailleur.
Pour simplifier la notation, on utilise les notations suivantes :
- $k \equiv \frac{K}{L}$ : le niveau de capital par travailleur (ou par habitant)
- $y \equiv \frac{Y}{L}$ : le niveau de production ou de revenu par travailleur (ou par habitant)
- $f(k) \equiv F\left(\frac{K}{L}, 1\right)$ : la fonction de production en termes per capita, également appelée fonction intensive
Avec ces notations, nous pouvons réécrire l’équation précédente comme suit :
$y(t) = f(k(t))$
Cette équation exprime le niveau de production ou de revenu par travailleur $y$ en fonction du niveau de capital par travailleur $k$, en utilisant la fonction de production intensive $f(k)$.
En appliquant ces méthodes à la fonction de production Cobb-Douglas :
$$Y = F[K, L] = K^\alpha L^{1-\alpha} \implies$$ $$\implies \frac{Y}{L} \equiv y = \frac{K^\alpha L^{1-\alpha}}{L} = K^\alpha L^{-\alpha} = \left(\frac{K}{L}\right)^\alpha = k^\alpha.$$
Cela signifie que le niveau de production ou de revenu par travailleur $y$ dans le modèle Cobb-Douglas est égal à la variable $k$ élevée à la puissance $\alpha$.
Cobb-Douglas, taux d’intérêt, salaire et shares (parts de revenus)
Les parts de revenus mesurent la partie du revenu total qui est distribuée comme paiement aux propriétaires de chaque facteur de production. Dans le modèle de Solow, il y a deux facteurs de production : le capital et le travail.
Dans une économie concurrentielle, chaque facteur est rémunéré selon son rendement marginal.
Une propriété importante et unique de la fonction de production Cobb-Douglas est que, dans une situation de concurrence parfaite, les parts de revenus des facteurs (parts de revenus des facteurs) sont constantes, comme expliqué dans l’annexe.1 Les parts de revenus mesurent la partie du revenu total qui est distribuée comme paiement aux propriétaires de chaque facteur de production. Dans le modèle de Solow, il y a deux facteurs de production : le capital et le travail.
Étant donné que nous supposons une économie concurrentielle, nous savons que chaque facteur est rémunéré selon son rendement marginal :
- $w = \frac{\partial F[K, L]}{\partial L}$
- $R = \frac{\partial F[K, L]}{\partial K}$
Taux d’intérêt
En général, le taux d’intérêt est donné par l’expression suivante: $R = \frac{\partial F[K, L]}{\partial K} = \frac{\partial L F\left[\frac{K}{L}\right]}{K} = L F^\prime \left[\frac{K}{L}\right] \frac{1}{L} = f^\prime (k).$
Dans le cas de la fonction de production Cobb-Douglas : $R = \frac{\partial K^\alpha L^{1-\alpha}}{\partial K} = \alpha K^{\alpha - 1}L^{1-\alpha} = \alpha k^{\alpha -1}$
Ou de manière alternative, en utilisant la règle générale : $R = f^\prime (k),\ f(k) = k^\alpha \implies R = f^\prime (k) = \alpha k^{\alpha -1}.$
Salaire
Le salaire peut être déterminé de manière similaire. De manière générale :
$w = \frac{\partial F[K,L]}{\partial L} = \frac{\partial L F\left[\frac{K}{L}\right]}{\partial L} = F\left[\frac{K}{L}\right] + F^\prime \left[\frac{K}{L}\right][-1]\frac{K}{L^2}L = f(k) - f^\prime (k) k$.
Dans le cas de la formulation Cobb-Douglas :
$w = \frac{\partial K^\alpha L^{1-\alpha}}{\partial L} = (1-\alpha) K^{\alpha}L^{-\alpha} = (1-\alpha) k^{\alpha}$
Ou de manière alternative, en utilisant la règle générale :
$w = f(k) - f^\prime (k) k ,\ f(k) = k^\alpha \implies$ $\implies w = f(k) - f^\prime (k) k = k^\alpha - \alpha k^{\alpha -1}k = (1-\alpha) k^\alpha.$
Parts de revenus (Shares)
Les parts de revenu de chaque facteur se définissent comme les paiements totaux que les propriétaires de chaque facteur reçoivent en pourcentage de la production totale. Par exemple, les propriétaires du capital reçoivent $R$ unités d’intérêt par chaque unité de capital. Ainsi, ils reçoivent au total $R K$. Il en va de même pour les travailleurs : avec un salaire de $w$, les travailleurs qui offrent $L$ unités de travail touchent au total $w L$.
Pour trouver les parts de revenus (shares), il suffit de voir à quelle proportion $w L$ et $R K$ correspondent par rapport à la production totale. Cela se calcule de la manière suivante :
- $\frac{w\ L}{Y}$
- $\frac{R\ K}{Y}$
Dans le cas d’une fonction de production Cobb-Douglas :
- $\frac{w\ L}{Y} \stackrel{\text{div. par}\ L}{=} \frac{w}{y} = \frac{w}{f(k)} = \frac{(1-\alpha) k^\alpha}{k^\alpha} = 1- \alpha.$
- $\frac{R\ K}{Y} \stackrel{\text{div. par}\ L}{=} \frac{R\ k}{y} = \frac{R\ k}{f(k)} = \frac{\alpha k^{\alpha-1}k}{k^\alpha} = \alpha.$
Ainsi, dans une économie avec une fonction de production Cobb-Douglas, les travailleurs reçoivent une part $(1-\alpha)$ de la production totale, tandis que les capitalistes touchent une part $\alpha$. Ceci, qui pour l’instant semble plus une curiosité qu’autre chose, sera important par la suite.